统计模型: Gamma函数

在数学中，$\Gamma$函数是阶乘函数在实数域和复数域上的扩展。

如果$n$是正整数，则: $\Gamma(n) = (n - 1)!$

如果是在复数域上，则$\Gamma(z) = \int_0^{\infty} t^{z - 1} \exp(-t) dt$

性质

$\Gamma(x + 1) = x\Gamma(x)$

证明：

$$\begin{align} \Gamma(x + 1) &= \int_0^{\infty} t^x \exp(-t) dt \\ &= \int_0^{\infty}- t^x d \exp(-t) \\ &= -t \exp(-t) |_0^{\infty} - \int_0^{\infty} \exp(-t) d(-t^x) (分部积分)\\ &= 0 - 0 + \int_0^{\infty} \exp(-t) x t^{x - 1} dt \\ &= x \int_0^{\infty} \exp(-t) t^{x - 1} dt \\ &= x \Gamma(x) \end{align}$$

当x为正整数时，$\Gamma(n + 1) = n!$, 正好和阶乘实现了统一，因此$\Gamma$函数可以当做阶乘在非整数域上的推广

这样有一个好处，当日后遇到类似$\int_0^{\infty} t^n \exp(-t)dt$的积分，都能等价为求阶乘$(n + 1)!$ ，这比直接积分简单多了

$\Gamma$函数的另外形式

$\Gamma(z + 1) = \int_0^{\infty} x^{z} \exp(-x) dx$ , 采用换元法$x = t^2$, 则：

$$\begin{align} \Gamma(z + 1) & = \int_0^{\infty} t^{ 2z } \exp(- t^2) d(t^2) \\ & = 2 \int_0^{\infty} t^{2z + 1} \exp(-t^2) dt \end{align}$$

如果令$z = -\frac{1}{2}$就能计算出一个特殊情况的值：

$$\Gamma(\frac{1}{2}) = 2 \int_0^{\infty} \exp(-t^2) dt = \sqrt{\pi} (高斯积分性质)$$

也就是说，$\Gamma(x)$为正整数的时候的函数值都能转化为阶乘求出来，现在x为非整数$\frac{1}{2}$的函数值也求出来了。

再继续用性质$\Gamma(x + 1) = x\Gamma(x)$ , 则也能求出如下情况的函数值

1. $\Gamma(\frac{3}{2}) = \frac{1}{2} \Gamma(\frac{1}{2}) = \frac{\sqrt{\pi}}{2}$
2. $\Gamma(\frac{5}{2}) = \frac{3}{2} \Gamma(\frac{3}{2}) = \frac{3}{4} \sqrt{\pi}$
3. $\Gamma(\frac{7}{2}) = \frac{5}{2} \Gamma(\frac{5}{2}) = \frac{15}{8}\sqrt{\pi}$
4. …
5. $\Gamma(n + \frac{1}{2}) = \frac{(2n - 1)!!}{2^n} \sqrt{\pi}$

这下$\Gamma(n)$和$\Gamma(n + \frac{1}{2})$的函数值都能直接求出来了。