FM模型

FM模型是一种统计学模型，适合处理高维稀疏数据和特征交叉，能够有效捕捉特征之间的关系。

原理

FM 模型可以看做线性模型的扩展，可以捕捉特征之间的二阶相互作用。

公式如下

$$y = w_0 + \sum w_i x_i + \sum_{i = 1} \sum_{j = i + 1} <v_i, v_j> x_i x_j$$

其中，w_0是偏置项、w_i是特征i的权重，v_i为特征i的因子向量，x_i为特征i的值。

因子向量v_i用于捕捉特征i与其他特征之间的交互作用，又因为因子向量特征维度通常较小，因此有助于降低模型复杂度和过拟合风险。

v_i, v_j的内积反应了这两种特征之间的相互作用强度

总体来看，就是线性模型的基础上增加了特征交互部分，并且特征交互以因子向量的内积作为权重

处理高维稀疏数据

通过引入低秩的因子向量来处理稀疏数据，从而减少参数的数量，哪怕是成千上万维度的特征向量，用来计算特征交互的因子内积也是很小的

对比线性模型

线性模型只捕捉不同特征的一阶作用，而FM多了二阶特征相互作用

训练

和线性模型一样，采用梯度下降法来优化损失函数。

因子向量

因子向量是通过随机初始化得到的，通过梯度下降来优化

在推荐系统中的应用

FM模型可以预测用户对物品的评分或点击概率，通过学习用户特征和物品特征之间的相互作用来预测

因子向量的维度

通过交叉验证的方法来确定，在模型复杂度和泛化能力之间平衡

冷启动

与DIN，DIEN的不同

FM更加关注特征之间的交互作用，尤其是二阶交互，而DIN和DIEN更侧重于对用户兴趣的建模

例子

假设我们有一个用户行为数据集，其中每个用户可能与数千个商品发生过互动，但每个用户实际上只与少数几个商品发生了互动。这意味着用户-商品矩阵中的绝大多数元素都是0，这是一个典型的稀疏数据集。

在FM模型中，我们可以为每个用户和每个商品分配一个因子向量。当预测某个用户对某个商品的兴趣时，我们只需要考虑该用户和该商品对应的非零特征（即发生过互动的商品），并通过计算这两个因子向量的内积来估计它们之间的相互作用。这样，即使用户和商品的总数非常大，FM模型仍然可以高效地学习和预测。