统计模型: Beta分布

4种常见分布

二项分布

$P(x = k) = C_n^k p^k (1 - p)^{n - k}$ : $n$次独立实验，每次成功概率为$p$, 成功$k$次为止

• 期望 $E = np$
• 方差 $Var = np(1 - p)$
• 累计概率密度函数 $F(x <= k) = \sum_{x = 0}^k C_n^k p^k (1 - p)^{n - k}$

应用场景：

1. 质量控制
2. 可靠性
3. 调查抽样

在某些情况下可以被其他分布近似：

1. p ->0, n -> $\infty$ , 可以用泊松分布近似
2. p <=0.5 , np >5, or p >0.5 , nq >5, 可以用正态分布近似

泊松分布

$P(x = k) = \frac{\exp( - \lambda) \lambda^k }{k!}$ ，记为$x \sim \pi(\lambda)$， $\lambda$指事件发生次数的平均值

描述单位时间内随机事件(概率不变)发生的次数的概率分布

• 期望 $E =\lambda$
• 方差 $Var = \lambda$
• $X + Y \sim \pi(\lambda_1 + \lambda_2)$

应用场景：

1. 如某一服务设施在一定时间内受到的服务请求的次数
2. 电话交换机接到呼叫的次数
3. 汽车站台的候客人数
4. 机器出现的故障数

指数分布

$p(T = t) = \lambda \exp(- \lambda t)$

其中 $\lambda >0$ 是分布的参数，即每单位时间发生该事件的次数

用来分析独立的事件发生的间隔的概率分布，比如两个游客进入机场的时间间隔（如果大概率间隔超过1个小时，机场人员就可以幸福摸鱼了）

• 期望 $E = \frac{1}{\lambda}$
• 方差 $Var = \frac{1}{\lambda^2}$
• 无记忆性（超级好的性质）：$P(T > s + t | T > t) = P(T > s)$

应用场景

• 电灯泡寿命预估

正态分布

$P(x) = \frac{1}{\sqrt{2 \pi \sigma^2}} \exp(\frac{- (x - \mu)^ 2}{ 2 \sigma ^ 2})$

Beta分布

$p(x | \lambda_1, \lambda_2, w_1, w_2) = \frac{1}{w_2 - w_1} \frac{\Gamma(\lambda_1 + \lambda_2)}{\Gamma(\lambda_1) \lambda_2} (\frac{x - w_1}{w_2 - w_1})^{\lambda_1 - 1} (1 - \frac{x - w_1}{w_2 - w_1})^{\lambda_2 - 1}$

Beta分布是用来描述概率的概率分布（十分拗口），因为概率是$[0, 1]$的，所以Beta分布的取值范围也是$[0, 1]$, 对概率进行建模。

通常情况下，$w_1 = 0, w_2 = 1$, 那么$p(x | \lambda_1, \lambda_2) = \frac{\Gamma(\lambda_1 + \lambda_2)}{\Gamma(\lambda_1) \Gamma(\lambda_2)} x^{\lambda_1 - 1} (1 - x)^{\lambda_2 - 1}$

Beta函数$B(\alpha, \beta) = \int_0^1 x^{a - 1} (1 - x )dx = \frac{\Gamma(\alpha) \Gamma(\beta)}{\Gamma(\alpha + \beta)}$

Beta分布：

$$f(x) = \frac{1}{\Beta(\alpha, \beta)} x^{\alpha - 1} (1 - x)^{\beta - 1}, 0< x < 1$$

Beta分布和二项分布的概率密度函数形式上非常相似，区别在于二项分布对实验成功次数进行建模，Beta分布是对成功概率进行建模，分析成功概率的概率（还是很拗口）

• 期望 $E = \frac{\alpha }{\alpha + \beta}$
• 方差 $Var = \frac{\alpha \beta}{(\alpha + \beta)^2 (\alpha + \beta + 1)}$

应用场景：

• 贝叶斯分析（用来描述先验分布）